お気楽さんすう屋さんateruiの日々の記録と思考錯誤？のたまり場です。 "easy arithmetician" aterui's spot for daily records and thoughts.
今日は午前中に会議の代理出席。午後は授業のスタッフミーティングの後、授業の仕込みと書類の整理。いくつか残っていた仕事を片付けたが他にもまだ残っている。夜は原稿や調べ物など。昨日ほど暑くはならなかったようだ。ではまた明日。
合成関数の微分の証明についてですが、講義ノートの36ページの真ん中あたりの このとき…から始まる行の１つ下の数式の最後は （Δy）ではなく φ2 （Δy）ではないでしょうか？ 今回もゼロから学ぶシリーズ「微分積分」（小島寛之 著）を参考にしながら講義ノートを読み進めています。非常に悩んだのでコメントさせていただきました。
2012年度の「微積分I」 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~terui/calculus1-2012 のことと思いますが、該当部分を確認したところ、たしかに φ2 が抜けていると思います。その前後の + と (Δy) の間に不自然な空白があります。もしかすると、一度誤字を書き込んで、修正液を塗ったのち、訂正を忘れていたかもしれません。ご指摘ありがとうございました。他にも同様の箇所があるかもしれませんので、今後も何かございましたらお知らせいただければ幸いです。
ありがとうございました。もうひとつ質問させて下さい。2013年線形代数１の講義ノートの第21回109ページの補題3・14についてですが、ここは行の基本変形だと思うのですが、動画の中でも講義ノートでも列変形になっているのはどうしてでしょうか？よろしくお願いします。
度々の質問で恐縮です…2012微積分１ 第９回講義ノートの78ページの最後の方で、分母を平方完成… ｕ＾２＋１の形にする というところで、ここは （2-1) の式の分母にあたる部分だと思うのですが、79ページの2番目の式で ゆえに （与式)=Ｃ ( ~~~~) となっていて分子のＣにかけているのが理解出来なくて困っています。続く(3) (3-1) のbx＋c＝b／2 ( ) + ( ) の部分で、b／２は前の（ ）にのみ掛かっていると思うのですが次の（与式）= b／２∮ ○○dx と全体にb／２が掛かっているのも？？？？状態です。もう少しで微積分Ⅰをクリアー出来そうなので、モヤモヤを晴らしていただけると有難いです。
> 2013年線形代数１の講義ノートの第21回109ページの補題3・14についてですが、> ここは行の基本変形だと思うのですが、動画の中でも講義ノートでも列変形に> なっているのはどうしてでしょうか？についてお答えします。ご質問のポイントは、板書や講義ノートでsやtのインデックスをつけたのが列だったことと関連していると思いますが、基本行列は正方行列で、かつ対角成分に着目しているので、sやtのインデックスは、行につけた場合も、それぞれ第s行と第t行の間の変形になります。基本行列は、変形させる対象の行列の右からかけるか左からかけるかで、列変形を行うか、それとも行変形を行うかが決まりますので、sとtは行につけても列につけても、本質的な変形の場所は同じようなものです。
お忙しいところ有り難うございました。列変形は右から、行変形は左からで、今回の場合は同じ結果になることを十分理解できました。動画の線形代数１（2013)(21)行列式の中で40分ぐらいからの説明が、さっき見ても列変形をしながら行変形をしている解説に聞こえてしまいます。学生の皆さんは混乱されなかったのでしょうか？私はなかなか頭が硬くて柔軟に対応出来なくて…。でも、こだわったお陰でしっかり記憶に残りそうです。本当にお忙しいのに、きちんと対応していただいて感謝しています。53才からの数学やり直し、頑張れそうです❗️
お返事ありがとうございます。私も行変形と列変形の区別についてあまり意識していなかったのですが、たとえばある行列の第s行と第t行 (s<t) を入れ換える変形を行う場合、基本行列は左からかけて、基本行列で変形に関わるのは第s列と第t列ですので、基本行列を考える際には列の意識があったのだと思います。さて、2012, 微積分1の第9回ですが、まず、講義ノートのp.78, (2-1) のcは、もともと、被積分関数の分子に現われていた定数です。c今回は分母の積分には関与しませんので、p.79の「ゆえに」以降の式では外に出しています。次に、p.79, (3-1) の (b/2) がいつの間にか積分の全体にかかっているというご指摘ですが、たしかにこれはミスかもしれません。今手元に教科書がないので、この点については週明けに確認したいと思います。よろしくお願いいたします。
2012 微積分1の第９回ですが、ゆえに（与式）= ｃ（ ）の部分が （与式）= ｃ／（ ）ではないかと思うのです。（ ）の部分は分母の計算から求めた結果なので、分子の定数ｃにかけるのが理解出来ないのです…週明けに確認していただけたら嬉しいです。お手数おかけします。
なるほど、おっしゃる内容を理解しました。x^2 + β x + δ を平方完成したときに出てきた因子 (- β^2 / 4 + δ) は、本来分母の因子であるはずが、p.79 の (与式) = の右辺では分子の因子になっているのではないか、ということですね。たしかにご指摘の通りと思います。p.79, (3-1) の式と合わせて、週明けに教科書も確認したいと思います。ご指摘ありがとうございます。
確認が遅くなり、失礼いたしました。1) 2012 微積分Iの講義ノート p.36, 定理2.4（合成関数の微分）のご指摘の部分については、確認したところ、Δy * ε(Δy) が抜けていました。2) 2012 微積分Iの講義ノート p.79, 2行目の右辺は、定数 C の後のカッコ内の式が (...)^-1 （分母にくる形）になります。同じく、3行目と5行目では C (...)^(-1/2) となります。3) 2012 微積分Iの講義ノート p.79, 下から4行目の ∴（与式）= の右辺の頭にある b/2 は、積分記号内の有理関数の分子の (2x+β) の因子のみにかかります。同じく、下から3行目では、b/2 はアンダーラインを引いた積分の①のみにかかります。同じく、p. 80, 2行目では、b/2 はアンダーラインを引いた積分の③のみにかかります。1) は典拠となった資料（同僚の方の講義ノート）を確認しました。2) は心当たりのある資料には見当たりませんでしたが、自分で計算していた可能性もあります。上記については、講義ノートの訂正版をこれから公開したいと思います。ご指摘ありがとうございました。
ご指摘いただいた訂正を公開しました。該当する回の授業の資料欄に、各回の講義ノートの訂正版を置きました。また、全部の回をまとめた講義ノートの方も訂正しておきました。今後ともよろしくお願いいたします。
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11 件のコメント:
合成関数の微分の証明についてですが、講義ノートの36ページの真ん中あたりの このとき…から始まる行の１つ下の数式の最後は （Δy）ではなく φ2 （Δy）ではないでしょうか？ 今回もゼロから学ぶシリーズ「微分積分」（小島寛之 著）を参考にしながら講義ノートを読み進めています。非常に悩んだのでコメントさせていただきました。
2012年度の「微積分I」 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~terui/calculus1-2012 のことと思いますが、該当部分を確認したところ、たしかに φ2 が抜けていると思います。
その前後の + と (Δy) の間に不自然な空白があります。もしかすると、一度誤字を書き込んで、修正液を塗ったのち、訂正を忘れていたかもしれません。ご指摘ありがとうございました。
他にも同様の箇所があるかもしれませんので、今後も何かございましたらお知らせいただければ幸いです。
ありがとうございました。もうひとつ質問させて下さい。2013年線形代数１の講義ノートの第21回109ページの補題3・14についてですが、ここは行の基本変形だと思うのですが、動画の中でも講義ノートでも列変形になっているのはどうしてでしょうか？よろしくお願いします。
度々の質問で恐縮です…
2012微積分１ 第９回講義ノートの78ページの最後の方で、分母を平方完成… ｕ＾２＋１の形にする というところで、ここは （2-1) の式の分母にあたる部分だと思うのですが、79ページの2番目の式で ゆえに （与式)=Ｃ ( ~~~~) となっていて分子のＣにかけているのが理解出来なくて困っています。続く(3) (3-1) のbx＋c＝b／2 ( ) + ( ) の部分で、b／２は前の（ ）にのみ掛かっていると思うのですが次の（与式）= b／２∮ ○○dx と全体にb／２が掛かっているのも？？？？状態です。もう少しで微積分Ⅰをクリアー出来そうなので、モヤモヤを晴らしていただけると有難いです。
> 2013年線形代数１の講義ノートの第21回109ページの補題3・14についてですが、
> ここは行の基本変形だと思うのですが、動画の中でも講義ノートでも列変形に
> なっているのはどうしてでしょうか？
についてお答えします。
ご質問のポイントは、板書や講義ノートでsやtのインデックスをつけたのが列だったことと関連していると思いますが、基本行列は正方行列で、かつ対角成分に着目しているので、sやtのインデックスは、行につけた場合も、それぞれ第s行と第t行の間の変形になります。
基本行列は、変形させる対象の行列の右からかけるか左からかけるかで、列変形を行うか、それとも行変形を行うかが決まりますので、sとtは行につけても列につけても、本質的な変形の場所は同じようなものです。
お忙しいところ有り難うございました。列変形は右から、行変形は左からで、今回の場合は同じ結果になることを十分理解できました。動画の線形代数１（2013)(21)行列式の中で40分ぐらいからの説明が、さっき見ても列変形をしながら行変形をしている解説に聞こえてしまいます。学生の皆さんは混乱されなかったのでしょうか？私はなかなか頭が硬くて柔軟に対応出来なくて…。でも、こだわったお陰でしっかり記憶に残りそうです。本当にお忙しいのに、きちんと対応していただいて感謝しています。53才からの数学やり直し、頑張れそうです❗️
お返事ありがとうございます。私も行変形と列変形の区別についてあまり意識していなかったのですが、たとえばある行列の第s行と第t行 (s<t) を入れ換える変形を行う場合、基本行列は左からかけて、基本行列で変形に関わるのは第s列と第t列ですので、基本行列を考える際には列の意識があったのだと思います。
さて、2012, 微積分1の第9回ですが、まず、講義ノートのp.78, (2-1) のcは、もともと、被積分関数の分子に現われていた定数です。c今回は分母の積分には関与しませんので、p.79の「ゆえに」以降の式では外に出しています。
次に、p.79, (3-1) の (b/2) がいつの間にか積分の全体にかかっているというご指摘ですが、たしかにこれはミスかもしれません。今手元に教科書がないので、この点については週明けに確認したいと思います。よろしくお願いいたします。
2012 微積分1の第９回ですが、ゆえに（与式）= ｃ（ ）の部分が （与式）= ｃ／（ ）ではないかと思うのです。（ ）の部分は分母の計算から求めた結果なので、分子の定数ｃにかけるのが理解出来ないのです…週明けに確認していただけたら嬉しいです。お手数おかけします。
なるほど、おっしゃる内容を理解しました。
x^2 + β x + δ を平方完成したときに出てきた因子 (- β^2 / 4 + δ) は、本来分母の因子であるはずが、p.79 の (与式) = の右辺では分子の因子になっているのではないか、ということですね。たしかにご指摘の通りと思います。
p.79, (3-1) の式と合わせて、週明けに教科書も確認したいと思います。ご指摘ありがとうございます。
確認が遅くなり、失礼いたしました。
1) 2012 微積分Iの講義ノート p.36, 定理2.4（合成関数の微分）のご指摘の部分については、確認したところ、Δy * ε(Δy) が抜けていました。
2) 2012 微積分Iの講義ノート p.79, 2行目の右辺は、定数 C の後のカッコ内の式が (...)^-1 （分母にくる形）になります。
同じく、3行目と5行目では C (...)^(-1/2) となります。
3) 2012 微積分Iの講義ノート p.79, 下から4行目の ∴（与式）= の右辺の頭にある b/2 は、積分記号内の有理関数の分子の (2x+β) の因子のみにかかります。
同じく、下から3行目では、b/2 はアンダーラインを引いた積分の①のみにかかります。
同じく、p. 80, 2行目では、b/2 はアンダーラインを引いた積分の③のみにかかります。
1) は典拠となった資料（同僚の方の講義ノート）を確認しました。
2) は心当たりのある資料には見当たりませんでしたが、自分で計算していた可能性もあります。
上記については、講義ノートの訂正版をこれから公開したいと思います。
ご指摘ありがとうございました。
ご指摘いただいた訂正を公開しました。
該当する回の授業の資料欄に、各回の講義ノートの訂正版を置きました。
また、全部の回をまとめた講義ノートの方も訂正しておきました。
今後ともよろしくお願いいたします。
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